Bất đẳng thức Jensen – Wikipedia tiếng Việt

1. Nếu ${\displaystyle f}$ là một hàm lồi trên ${displaystyle mathbb {I} (a,b)}$ thì với mọi ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}in mathbb {I} (a,b)}$ ta luôn có ${displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})geq nf({frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})}$.^[1] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${displaystyle x_{1}=x_{2}=dots =x_{n}}$.


2. Nếu ${\displaystyle f}$ là một hàm lõm trên ${displaystyle mathbb {I} (a,b)}$ thì với mọi ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}in mathbb {I} (a,b)}$ ta luôn có${displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})leq nf({frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})}$.[2] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${\displaystyle x_1=x_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=x_n}$.

Lưu ý: Nếu ${displaystyle f}$ là hàm liên tục trên ${displaystyle mathbb {I} (a,b)}$ và có đạo hàm cấp hai trên ${displaystyle mathbb {I} }$ thì ${displaystyle f}$ lồi khi ta có ${displaystyle f''(x)geq 0,forall xin mathbb {I} (a,b)}$ và ${displaystyle f}$ lõm khi ta có ${displaystyle f''(x)leq 0,forall xin mathbb {I} (a,b)}$.[1]

Ví dụ: ${displaystyle f(x)=x^{2}}$ là hàm lồi.

Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.

1. ^ ^{a ă} Trang 44, Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006.
   


2. ^ Trang 45, Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, Nhà xuất bản Tri Thức, năm 2006.