My Girl leon mimi

Hình 3: Một biến đổi đồng luân tách cà phê thành xuyến.

Hình 4: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các hình ảnh động mô tả một phép biến đổi đồng luân.

Hình 5: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các đường nhỏ mô tả một phép biến đổi đồng luân.

Hình 6: Quá trình biến đổi đồng luân.

Hình 7: Homotopy group addition

Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-homos-đồng nhất và τόπος-topos-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luân và nhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục ${displaystyle f}$ và ${displaystyle g}$ từ không gian tô pô ${displaystyle X}$ vào không gian tô pô ${displaystyle Y}$ được định nghĩa là ánh xạ liên tục ${displaystyle H:Xtimes [0,1]rightarrow Y}$ từ tích của không gian ${displaystyle X}$ với đoạn đơn vị ${displaystyle [0,1]}$ vào ${displaystyle Y}$ sao cho với mọi điểm ${displaystyle xin X}$ ta có ${displaystyle H(x,0)=f(x)}$ và ${displaystyle H(x,1)=g(x)}$ .

Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của

{displaystyle H}

như là thời gian, khi đó

{displaystyle H}

mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ

{displaystyle f}

thành

{displaystyle g}

ký hiệu

{displaystyle H(x,t),tin [0,1]}

. Tại thời điểm

{displaystyle 0}

ta có ánh xạ

{displaystyle f}

, tại thời điểm

{displaystyle 1}

ta có ánh xạ

{displaystyle g}

. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ

{displaystyle f}

để

{displaystyle g}

như di chuyển thanh trượt

{displaystyle 0}

đến

{displaystyle 1}

, và ngược lại.

Một ký hiệu thay thế khác cho ký hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục

{displaystyle f,g:Xrightarrow Y}

là một họ của các hàm số liên tục

{displaystyle h_{t}:Xrightarrow Y}

cho

{displaystyle tin [0,1]}

sao cho

{displaystyle h_{0}=f}

và

{displaystyle h_{1}=g}

và mỗi bản đồ

{displaystyle trightarrow h_{t}(x)}

liên tục từ

{displaystyle [0,1]}

đến

{displaystyle Y}

. Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập

{displaystyle h_{t}(x)=H(x,t).}

Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file: Ly cà phê).

Hình 1: Quá trình biến đổi cốc cà phê thành hình xuyến qua phép biến đổi đồng luân.

Hình 2: Góc nhìn khác của quá trình biến đổi đồng luân.

Nhắc lại về đường đi trong không gian ${displaystyle X}$ là ánh xạ liên tục ${displaystyle alpha }$ từ khoảng ${displaystyle [0,1]}$ trong tô pô Euclid vào ${displaystyle X}$ . Điểm ${displaystyle alpha (0)}$ được gọi là điểm đầu và điểm ${displaystyle alpha (1)}$ được gọi là điểm kết thúc.^[1]

Đặt ${displaystyle alpha }$ và ${displaystyle beta }$ là hai đường từ ${displaystyle a}$ sang ${displaystyle b}$ trong ${displaystyle X}$ . Một phép đồng luân từ ${displaystyle alpha }$ và ${displaystyle beta }$ là họ các ánh xạ: ${displaystyle F_{t}:Xrightarrow X,tin [0,1]}$ , như vậy ánh xạ ${displaystyle (t,s)rightarrow F_{t}(s)}$ là liên tục, ${displaystyle F_{0}=alpha ,F_{1}=beta }$ , và với mọi điểm ${displaystyle t}$ đường ${displaystyle F_{t}}$ đi từ ${displaystyle arightarrow b}$ .^[1]

Nếu có một phép đồng luân từ ${displaystyle alpha rightarrow beta }$ chúng ta nói rằng ${displaystyle alpha }$ đồng luân với ${displaystyle beta }$ , thường ký hiệu là ${displaystyle alpha }$ ~ ${displaystyle beta }$ .^[1]

Một vòng hay một đường đi đóng tại ${displaystyle ain X}$ là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là ${displaystyle a}$ . Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục ${displaystyle alpha :[0,1]rightarrow X}$ sao cho ${displaystyle alpha (0)=alpha (1)=alpha }$ . Vòng bất biến là vòng mà ${displaystyle alpha (t)}$ = ${displaystyle alpha }$ với mọi ${displaystyle tin [0,1]}$ .^[1]