Übereinstimmende Nummer - Wikipedia

Dreieck mit der Fläche 6, eine kongruente Zahl.

In der Mathematik ist eine kongruente Zahl eine positive ganze Zahl, die die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit drei rationalen Zahlenseiten darstellt. ^[1] A Eine allgemeinere Definition schließt alle positiven rationalen Zahlen mit dieser Eigenschaft ein. ^[2]

Die Folge ganzzahliger kongruenter Zahlen beginnt mit

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47,… (Sequenz A003273 in der OEIS)

Übereinstimmende Zahlentabelle: n ≤ 120 (Sequenz A003273 in der OEIS)

Übereinstimmende Nummerntabelle: n ≤ 120
-: Nichtkongruente Zahl
C: Quadratfreie kongruente Zahl
S: Kongruente Zahl mit quadratischem Faktor

1	1	1	2 19659012] 3	4	5	6	7	8
	-	-	-	-	C	C	C	-
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	-	-	-	-	C	C	C	-
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	-	-	-	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	-	-	-	S	C	C	C	-
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	-	C	-	-	C	C	C	-
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	-	-	-	S	C	C	-
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	-	-	-	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	-	-	-	S	C	C	S	-
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	-	-	-	C	C	C	-
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	-	-	-	-	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	-	-	-	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96 19659019] -	-	-	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	-	-	-	-	C	C	C	-
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	-	-	-	-	C	C	C	S.
n	113	114	115	116	117	118	119	120 19659019] -	-	-	S	S	C	C	S

Beispielsweise ist 5 eine kongruente Zahl, da es sich um die Fläche eines (20/3, 3/2, 41/6) Dreiecks handelt. Ähnlich ist 6 eine kongruente Zahl, da es sich um die Fläche eines (3,4,5) Dreiecks handelt. 3 ist keine deckungsgleiche Zahl.

Wenn q eine kongruente Zahl ist, dann ist s ² q auch eine kongruente Zahl für eine beliebige natürliche Zahl s (nur von Multiplizieren jeder Seite des Dreiecks mit ) und umgekehrt. Dies führt zu der Beobachtung, dass die Übereinstimmung einer rationalen Zahl ungleich Null q nur von deren Rest in der Gruppe abhängt

${\displaystyle \mathbb{Q}\ast {\mathbb{Q}}^Q}$.

Jede Residuenklasse in dieser Gruppe enthält genau eine -Quadrat-freie Ganzzahl, und es ist daher üblich, bei positiven kongruenten Zahlen nur quadratische freie Ganzzahlen zu berücksichtigen.

Übereinstimmendes Zahlenproblem [ edit ]

Die Frage, ob eine gegebene rationale Zahl eine kongruente Zahl ist, wird als kongruentes Zahlenproblem bezeichnet. Dieses Problem wurde (ab 2016) nicht zu einer erfolgreichen Lösung gebracht. Der Satz von Tunnell liefert ein leicht überprüfbares Kriterium, um zu bestimmen, ob eine Zahl kongruent ist. Sein Ergebnis stützt sich jedoch auf die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung, die noch nicht bewiesen ist.

Der Satz von Fermats rechtwinkligem Dreieck, benannt nach Pierre de Fermat, besagt, dass keine quadratische Zahl eine kongruente Zahl sein kann. In der Form, dass jedes Kongruum (der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Elementen in einem arithmetischen Fortschreiten von drei Quadraten) nicht quadratisch ist, war es Fibonacci bereits (ohne Beweis) bekannt. ^[3] Jedes Kongruum ist eine kongruente Zahl und jede Die kongruente Zahl ist ein Produkt aus einem Kongruum und dem Quadrat einer rationalen Zahl. ^[4] Es ist jedoch viel einfacher zu bestimmen, ob eine Zahl ein Kongruum ist, als zu bestimmen, ob sie kongruent ist, weil es für Congrua eine parametrisierte Formel gibt, für die nur endgültig gilt viele Parameterwerte müssen getestet werden. ^[5]

Relation zu elliptischen Kurven [ edit ]

Die Frage, ob eine gegebene Zahl kongruent ist, stellt sich als gleichbedeutend mit der Bedingung, dass ein bestimmter Parameter vorliegt Die elliptische Kurve hat einen positiven Rang. ^[2] Eine alternative Herangehensweise an die Idee wird im Folgenden dargestellt (wie im Wesentlichen auch in der Einleitung zu Tunnells Artikel zu finden ist).

Angenommen, a b c sind Zahlen (nicht notwendigerweise positiv oder rational), die die folgenden zwei Gleichungen erfüllen:

${ displaystyle { begin {matrix} a ^ {2} + b ^ {2} & = & c ^ {2}, \ { tfrac {1} {2}} ab & = & n. End { matrix}}}$

Dann wurde x = n ( a + c ) gesetzt. b und
y = 2 n ² ( a + c ) / b ² .
Eine Berechnung zeigt

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}$

und y ist nicht 0 (wenn y = 0 dann a = - c so b = 0 aber ( ¹ ₂ ) ] ab = n ist ungleich Null (ein Widerspruch).

Wenn umgekehrt x und y Zahlen sind, die die obige Gleichung erfüllen, und y nicht 0 ist, wird festgelegt
a = ( x ² - n ² ) / y
b = 2 nx / y und c = ( x ² + n ² / y . Eine Berechnung zeigt diese drei Zahlen
die beiden Gleichungen für a b und c oben erfüllen.

Diese beiden Entsprechungen zwischen ( a b c ) und ( x y ) sind gegensinnig, so
Wir haben eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen einer Lösung der beiden Gleichungen in
a b und c und jegliche Lösung der Gleichung in x und y mit y ungleich Null. Im Speziellen,
Aus den Formeln in den beiden Entsprechungen für rational n sehen wir, dass a b und c sind
wenn und nur dann rational, wenn die entsprechenden x und y rational sind und umgekehrt.
(Wir haben auch, dass a b und c alle positiv sind, wenn und nur x und y ] sind alle positiv;
Hinweis aus der Gleichung y ² = x ³ - xn ² = x () ] x ² - n ² )
Wenn x und y positiv sind, dann x ² n ² muss positiv sein, so die Formel zum
a oben ist positiv.)

Somit ist eine positive rationale Zahl n genau dann deckungsgleich, wenn die Gleichung gilt
y ² = x ³ - n ² x hat einen rationalen Punkt mit y ] nicht gleich 0.
Es kann gezeigt werden (als schöne Anwendung von Dirichlets Theorem auf Primzahlen in arithmetischer Progression)
Die einzigen Torsionspunkte auf dieser elliptischen Kurve sind die mit y gleich 0, daher die
Das Vorhandensein eines rationalen Punktes mit y ungleich Null bedeutet, dass die elliptische Kurve einen positiven Rang hat.

Aktueller Fortschritt [ edit ]

Es wurde viel Arbeit geleistet, um kongruente Zahlen zu klassifizieren.

Es ist zum Beispiel bekannt ^[6] dass für eine Primzahl p Folgendes gilt:

• wenn p (3 (mod 8) dann p ist keine kongruente Zahl, sondern 2 p ist eine kongruente Zahl. 19659372] if p ≡ 5 (mod 8) dann p ist eine kongruente Zahl.


• if p 7 (mod 8) dann p und 2 p sind übereinstimmende Zahlen.

Es ist auch bekannt ^[7] dass in jeder der Kongruenzklassen 5, 6, 7 (Modell 8) für jedes gegebene k gibt es unendlich viele kästchenfreie kongruente Zahlen mit k Primfaktoren.

1. ^ Weisstein, Eric W. "Congruent Number". MathWorld .
   


2. ^ ^{a b} , Einführung in elliptische Kurven und modulare Formen New York: Springer-Verlag, p. 3, ISBN 0-387-97966-2
   


3. ^ Ore, Øystein (2012), Zahlentheorie und ihre Geschichte Courier Dover Corporation, S. 202–203, ISBN 978-0 486-13643-1 .
   


4. ^ Conrad, Keith (Fall 2008), "Das kongruente Zahlenproblem" (PDF) Harvard College Mathematical Review 2 (2): 58–73, archiviert vom Original (PDF) am 20.01.2013 .
   


5. Darling, David (2004), Das universelle Buch der Mathematik: Von Abrakadabra zu den Paradoxien von Zeno John Wiley & Sons, p. 77, ISBN 978-0-471-66700-1 .
   


6. ^ Paul Monsky (1990), "Scheinhegner Punkte und kongruente Zahlen", Mathematische Zeitschrift 204 (1): 45–67, Doi: 10.1007 / BF02570859
   


7. ^ Tian, ​​Ye (2014), "Übereinstimmende Zahlen und Heegner-Punkte", Cambridge Journal of Mathematics 2 (1): 117–161, arXiv: 1210.8231 doi: 10.4310 / CJM.2014.v2.n1.a4, MR 3272014 . 19659282] [ edit ]
   
   • Alter, Ronald (1980), "Das kongruente Zahlproblem", American Mathematical Monthly Mathematical Association of America, 87 (1): 43–45, doi: 10.2307 / 2320381, JSTOR 2320381
   
   
   • Chandrasekar, V. (1998), "The Congruent Number Problem" (PDF) ) Resonance 3 (8): 33–45, doi: 10.1007 / BF02837344
   
   
   • Dickson, Leonard Eugene (2005), "Kapitel XVI", Geschichte der Zahlentheorie Dover-Bücher über Mathematik, Band II: Diophantine Analysis , Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 - für eine Geschichte des Problems siehe
   
   
   • Guy, Richard (2004), Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie Problembücher in Mathematik (Heft 1) (3. Aufl.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001 - Viele Referenzen sind in angegeben.
   
   
   • Tunnell, Jerrold B. (1983), "Ein klassisches diophantinisches Problem und modulare Formen von Gewicht 3/2", Inventiones Mathematicae 72 (2): 323–334, Bibcode: 1983InMat. .72..323T, doi: 10.1007 / BF01389327

   Externe Links [ edit ]